2023-06-29
2023-03-19
2023-06-15
2023-06-18
2023-07-05
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（一）平均数
吴：你们喜欢什么球类运动？
生1：我喜欢足球。
生2：篮球。
生3：乒乓球。
吴：由于受到场地的限制，我们只能在这里进行一次拍球比赛，你们看怎么样？
生：好。
吴：那我们以这里为界，一分为二，这边算一队，那边算一队。第一件事，先给自己的队起一个自己喜欢的名字，然后派一个代表把名字写在黑板上。第二件事，咱们得商量商量，这么多小朋友参加比赛怎么个比法，你们得出点招儿。听懂了吗？
（学生七嘴八舌商量开了，一分钟后，一个同学在黑板上写了“胜利队”。另一对也写了“吴正队”）
吴 :吴正是什么意思？
生：因为您的课讲得特别好，我们用您的名字，一定能赢。
吴：行行行。队名产生了，那咱们怎么比呢？
生：选出每个队最厉害的一位参加比赛。
吴：那你们选吧，再挑一个裁判，每队再请一个小朋友纪录。
预备，开始！20秒后，吴老师喊停，然后统计：“吴正队”：30，“胜利队”：29。
下面我宣布，本次比赛胜利者为“吴正队”。“胜利队”服不服气？
“胜利队”：不服气！
吴：为什么？
生：就一个人能代表我们吗？应该每队再选几个。
吴：我建议每队再选三个人，好吗？
（每队三人继续比赛，老师把每个人的拍球数写在黑板上。)
吴：下面用最快的速度算出“胜利队”和“吴正队”的总数各是多少，报数。
生;118,124.
吴：现在胜利者是“吴正队”，可以吗？
生：不可以。
（这时，吴老师走到胜利队同学面前。）
吴：别急，虽然现在咱们落后，但吴老师决定加入“胜利队”，欢迎吗？
胜利队：欢迎！
吴：现在把吴老师拍的22个加进来，算一算一共多少个？
生;140个。
吴;下面我宣布，今天的胜利者是“胜利队”。
生：不同意！
吴：为什么？
生;胜利队有5次拍球机会，我们只有4次，不公平。
吴;哦，在人数不等的情况下，我们还用总数这个统计量来比较，显然不公平，那么，在人数不等的情况下，我们能不能比出两个队总体的拍球水平呢？
（学生开始思考，相互交流。）
（终于有一个声音出现了：在人数不等的情况下，可以先求平均数。）
吴：怎样求平均数呀？
生;就是用拍球的总数，除以拍球的人数。
点评：排球是孩子喜欢的游戏，吴老师把游戏引进课堂的时候，在许多环节上都进行了改造：让学生自拟队名、自定比赛规则，是要培养学生的参与意识，是为了激发学生内在的学习动力；教师选择加入，是为了加深学生对平均数意义的体会，从而激发学生对平均数知识学习的需要。实际上，几乎每个环节都自然的指向对平均数的理解。一个原生态的生活情境，是难以有如此明显而丰富的教学意义的。
（二）二分之一
“把一个圆分成两份，每一份一定是它的1/2吗？”在学习1/2时，这个问题搅起了课堂的波澜。每个同学经过独立思考都纷纷发表了自己的意见，有的同意，有的不同意，无形之中就形成了两大阵营。正方、反方分别选出两名代表站在台前，一场唇枪舌战即将开始。
吴老师顺手递给一边一张圆纸片，宣布：“同意不同意都要提出问题，如果能问得对方心服口服，同意了你的观点，就是胜利者。这张纸可以折，可以撕。下面的同学两人一组，先讨论一下。”
讨论过后，同学们把目光集中到讲台前，吴老师对座位上的学生说：“我们请正方和反方的代表发表自己的意见，可以吗？我们静静的听，然后还可以发表自己的意见，看那位同学最会倾听别人的发言。”辩论开始。正方同学把圆从中间对折，问：“这一半不是1/2?既然你们都承认，为什么不给老师画勾？”大有先声夺人之势。
反方同学把圆随意撕了一小块下来，问：“这圆是不是两部分？”
正方：“是。”
反方：“这两半都是圆的1/2吗？”
正方：“不是。”
反方：“既然不是，为什么你们还认定把一个圆分成两份，每一份都一定是1/2呢？”好一个咄咄逼人的反问。
正方仍然不服气：“我们怎么就得到1/2呢？”
坐着的同学开始按捺不住了，举手发言。一个说：“这个圆可以折成1/2，也可以不折成1/2。”真是一语中的。
另一个说：“如果一个圆平均分成两份，每份是1/2,但这里说分成两份，怎么分都行。”他在“分成两份”上特别加重了语气。理越辩越明，几个回合下来，大家就达成了共识：这句话错就错在“一定”上，如果一定是1/2的话，前面应该加上“平均”这个词。这是对分数本质意义的认识。
点评：数学是其他自然学科的皇后，良好的数学素养离不开周密、严谨的思维。当然，这种严谨的思维习惯，不是靠教师的严厉逼出来的，而是要让学生在切身的体验中、在解决问题的活动中慢慢养成。教师所能做的职能是引导。
（三）小括号
刚刚认识了小挂号可以改变原有运算顺序的规则后，突然有一位同学提出：“我认为小括号没有什么了不起的，没有它的存在，照样可以解决实际问题。”一边说一边走到黑板前把“12×（4+3）”式子改写成了“12×4+12×3”，一脸不喜欢的样子：“反正我不喜欢小括号。”如果学生体会不到小括号的作用，这节课岂不白上了？吴老师思考着如何把这节课引向深处。突然，他看到了讲台上摆放的同学们为灾区捐的书，灵机一动，一个教学思路产生了。他不慌不忙地提出一个问题：“王红同学积极支援灾区，她有92本课外读物，自己留下32本后，把剩下的送给5个小朋友，平均每个小朋友得到几本？请列综合算术解答。”吴正宪特意请那位同学板演并讲解。过了一会儿，那位同学不好意思地说:“我在算式中画了一个小括号，表示先求92与32的差，最后再除以5。”吴正宪故意问：“这个小括号有什么了不起，不写它不是也可以解决问题吗？”“这个小括号非写不可，不然就得先算32÷5这一步了，不符合题目要求。”那位同学着急地说。一位同学抢过话头：“你现在是不是和大家一样也喜欢小括号了？”“小括号挺好的。”那位同学感慨地说。
点评：看似枯燥的数学知识，不再是由教师灌输给学生，而是学生自己体悟到、探索到，这是吴老师的高妙之处
(四)圆周长
课上，学生四人一组围桌而坐。桌面上摆放着水杯、可乐瓶、圆形纸片、刻度尺、绳子和剪刀。吴老师说：“龙潭湖公园有一个圆形花坛，为了保护花草，准备沿花坛围一圈篱笆，需要多长的篱笆呢？你们能帮助解决这个问题吗？请用手中的工具，小组合作探索周长的计算方法。”话音一落，学生们就忙开了。他们兴致勃勃的设想着各种方法，全身心投入到问题的探索之中。
过了一会儿，小组代表开始发言。A组抢先说：“我们小组是把圆形纸片立起来放在刻度尺上滚动一圈，就测出了它的长度。”
吴老师肯定了他们积极动手、动脑参与学习，但同时提出：“如果有一个很大的圆形水池，要求它的周长，能用你们小组的方法把水池立起来在刻度尺上滚动一圈吗？”“是啊，行吗？”A组的同学陷入了沉思。
接着，B组代表有几分得意地向大家推荐自己小组的做法：“我们研究了一个好方法，先用绳子在水池周围绕一圈，再量一量绳子的长度，不就是水池的长度了吗？”
“好！好！这的确是个不错的方法。”吴老师称赞道。这话在B组同学的脸上洒下了一片灿烂。
停顿片刻，吴老师拿出了一端系有小球的线绳，在空中旋转了一圈，又旋转了一圈，问：“小球走过的地方形成了一个圆，要想求这个圆的周长，还能用你们的方法吗？”同学们摇摇头，再次陷入沉思。
“我们又发现了一种求圆周长的方法。”一个兴奋的声音从教室里掠过，C组的同学发言了：“将这张圆形的纸对折三次，这样圆形的周长就被平均分成8段，我们测量出每条线断的长度是2厘米，8段是16厘米，也就是圆的周长。”
很有创意，吴老师竖起大拇指，“你们用折纸的方法求出这个圆的周长，很了不起。但是用滚动的方法、绳绕的方法、折纸的方法只能求出某些圆的周长，都有局限性。我们能不能找到一条球圆周长的普遍规律呢？
学生的思维又活跃起来，把对圆周长的探索推向了一个新的高潮。
经过一番思考，学生们提出了这样一个问题：“是什么决定了圆周长的长短？圆的周长到底与什么有关系？”观察、操作、实验，同学们终于发现圆的周长是它的直径的三倍多一些。
规律找到了，同学们沉浸在成功的喜悦之中┄┄
点评：吴老师善于创造绚丽的思维波澜景观，她总是恰到好处地打破学生的思维平衡，使学生原有的认识、经验受到挑战，形成适当的失衡，从而促使学生去探索、去创造，以寻找新的答案。如此循环往复，就使得学生的思维一步步深化，一步步逼近真理，一次比一次飞溅起更高的浪花。
（五）分数的初步认识
在“分数的初步认识”这一课上，吴老师请部分同学到黑板上用画图的方式表示自己心目中的一半。学生按照自己的想象，划出了不同的1/2图。
“同学们，你们知道有一种非常科学简单的表示方法吗？”在学生们七嘴八舌的猜测中，她自然而然的引出了1/2的概念，然后问：“那你们看1/2能不能代表你们画的这些图的意思呢？”“如果你认为它可以，就把你画的图擦掉，如果你认为1/2没有你画的图漂亮或不能代表，可以不擦掉。”多数同学都擦了，只有几位同学没有擦。没关系，吴老师等待着，让他们慢慢去体会。
在临下课前，吴老师安排了一个环节，请两个同学到黑板前用画图的方法来表示5/100。画着画着，一个男孩对老师说;“画不了了，太麻烦了。”吴老师问：“那你说是画图好还是分数好？”“分数好。”看来他是真的体会到分数的价值了。另一位女同学还在埋头画她的5/100，吴老师又在分母上加了一个“0”，变成了5/1000。微笑着对同学们说：“她愿意画就画吧。”5/1000该怎么用画图表示呢？就让女孩继续想吧，最终她会感悟到用分数表示这个关系是又准确又简单的。
点评：这种等待在课堂上是经常需要的。这是一份源自博爱的宽容。宽容让学生敢于展示真实的自我，勇于正视自己的不足，宽容让学生的智慧充分涌流。
一个教师之所以博大，就在于它告别了强迫学生认同的习惯，学会了等待，学会了宽容。
2.在认识、制作和欣赏轴对称图形的过程中，感受到物体图形的对称美，激发学生对数学学习的积极情感。
难点理解轴对称图形的基本特征
准备剪刀、纸(含平行四边形、字母ns)、教学挂图、直尺
手段观察、比较、讨论、动手操作
过程一.新课
1.教师取一个门框上固定门的铰连让学生观察是不是左右对称?
2.出示教学挂图：天安门、飞机、奖杯的实物图片
将实物图片进一步抽象为平面图形，对折以后问学生发现了什么?
生：对折后两边能完全重合。
师;对折后能完全重合的图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
教师先示范，让学生认识天安门城楼图的对称轴，然后让学生再找出飞机图、奖杯图的对称轴各在哪里。
3.练习：(出示小黑板)
(1)p57“试一试”
判断哪几个图形是轴对称图形?试着画出对称轴。
估计学生会将平行四边形看作是轴对称图形，可让两个学生到讲台前用平行四边形纸对折一下，看对折以后两部分是否完全重合。由此得出结论;平行四边形不是轴对称图形。
(2)用剪刀和纸剪一个轴对称图形。
过程二.练习
1.出示挂图：(p58“想想做做”第1题)
判断哪些图形是轴对称图形?
生：竖琴图、轿车图、五角星图、铁锚图、科技标志图、中国农业银行标志图
师：钥匙图和紫荆花图为什么不是?
生：因为对折以后两部分没有完全重合。
2.看书p58“想想做做”第2题
判断哪些英文字母是轴对称图形?
生：a、c、t、m、x(有可能有的学生没有选c，还有可能有的学生选n、s、z)
师：没有选c的同学除了竖着对折，看看横着、斜着对折你有没有去试一试?认为n、s、z是轴对称图形的我请两个学生到讲台前用表示字母n、s的纸对折一下，看看对折以后两部分有没有完全重合?
学生试完以后会发现两部分没有完全重合。
教师再将字母n横过来就变成了字母z，同样道理，两部分也不会完全重合。
案例一：
[分西瓜]：一位教师在教授三年级数学课程标准实验教材中“分数的初步认识”时，提出这样一个问题：“如果你有一个大西瓜，在母亲节的时候，你准备怎样分这个西瓜呢?”
生1：“母亲节到了，我准备把这个西瓜平均分成两份，给妈妈留一半，我留一半。”
“你为什么这样分呢?”教师问。
生1：“我一半，妈妈一半，一样多，这样谁也不吃亏。”
教师未作任何评价。
生2：“母亲节到了，我把西瓜平均分成8份，我给妈妈5份，我留3份。”
“你为什么这样分呢?”教师微笑地问。
生2：“妈妈很辛苦，在母亲节里应该多给她一些。”
“你真是一个孝敬父母的好孩子!”教师热情地表扬了她。
其他学生纷纷举手回答，要把西瓜平均分成6份、9份、12份等，都说在母亲节应该多给妈妈一些，教师都一一赞扬了他们。
这时，生3举手回答：“我把这个西瓜全都给妈妈吃。”
这位教师一楞，连忙微笑地问：“你为什么这样作呢?”
“我一点儿都不喜欢吃西瓜，所以我都给妈妈吃。”
此时，这位教师脸上的微笑霎时凝固起来，吃惊地说：“你怎么把不喜欢吃的东西送给妈妈，你的思想有问题呀!”
案例二：
[祖冲之你真伟大]：另一位教师在教圆周长的计算时，在学生探究出圆周率后，这位教师认为此时应该“渗透”爱国主义教育，于是在介绍了圆周率研究的相关历史材料的基础上，这样提问：“大家想对数学家祖冲之老爷爷说些什么呢?”
学生们群情激奋。
生1：我想说：祖冲之爷爷你真伟大!
生2：祖冲之爷爷有勤奋严谨的钻研精神，祖冲之我佩服你。
生3：……
学生们本以为至此就结束了，谁知这位教师继续借题发挥：“那么，我们以后应该怎么作呢?”
孩子们很聪明，在教师的“指引鼓励”下，个个说出一番“豪言壮志”。不过，十分钟的课堂教学时间也就这样过去了。
案例三：
[最后一题错了]：记得一次去听一位小学数学老师的公开课，他在黑板上写了五道题让一名学生板演。
3×9=27 4×9=36 5×9=45 6×9=54 7×9=62
当学生写完62时，台下多数同学都大声叫喊起来：“老师，她错了，最后一题错了……”
我当时的第一反应也是认为她的最后一题算错了。
满以为那位老师会马上帮助纠正这名学生的错误，没想到他却说了一段让我至今记忆犹新的话。他说：“最后一题是错了，可大家为什么只说她错的这道题，而不说她前面四道都做对了呢?看来，我们是多么容易发现别人的短处而忽略了别人的长处，当我们面对一个人时，首先要看其优点，要宽容地对待别人......”
如果我们的老师都用一颗宽容的心对待我们的学生，在课堂上时时显出宽容的态度，我相信这比老师单纯重说教的“灌输式德育”要高明。
随着社会的发展和进步,我们越来越深刻的认识到，教育的首要任务是育人，其次才是育才。思想教育和人文教育应该渗透在每一堂课中，那么怎样在数学课堂中恰到好处的进行思想教育呢?这是值得我们每一位数学教师思考的问题。我觉得数学课堂上的思想教育不能牵强附会，不能生搬硬套，要用得适时适地才能取到应有的效果。教学必然具有教育性，是教学过程的一条基本规律。在具体教学中，学生不仅可以从知识中受到教育，而且可以从教师的教学态度、工作作风和思想情感中潜移默化地受到思想道德教育。所谓教书育人，正是这个道理。但是，这种教育必须克服两种错误的倾向：一是过分强调教学的思想教育意义，不顾教学内容的具体特点，生拉硬扯地进行空洞的、贴标签式的思想教育;一是完全忽视教学的教育意义，单纯的为使学生获得知识技能而进行教学，只教书不育人。如果我们静下心来再来审视上面的三个教学案例，问题来了。
案例1中，学生把自己不喜欢吃的西瓜给妈妈，难道思想就有问题了吗?如果换一个角度来说，我们更应该看到这个孩子身上有着诚实的品质。孩子是敢于说真话的，而我们成人往往缺乏这种勇气。相反，成人可能会用虚伪、虚情假意来掩饰自己。不仅如此，有时为了“思想教育”的需要，我们还在教育着我们的孩子学会说假话，鼓励他们说假话。他们慢慢知道了：说真话有时不和时宜，会受到训斥，而随声附和老师的意思还会受到老师的表扬。多么可怕的教育!没有真诚的教育怎能培养出健康人的品格。
案例2中，教师在数学教学中为了激发学生的民族自豪感，进行爱国主义思想教育，难道非得让孩子们说出来吗?另人质疑的是这位教师上的究竟是数学课呢?还是思想品德教育课?那种在教学环节上追求简单的“嵌入”式或“贴标签”式的教学方式;那种牵强附会地把思想教育硬“扯”到教学内容中去的方法，我认为都是不可取的。那样只会助长了学生说空话，说违心话的坏习惯，最终使得数学教学与思想品德教育落得两败俱伤的境地。我认为数学教学最重要的是对学生渗透辨证唯物主义的启蒙教育，在课堂教学过程中，教师应重在培养学生认真严肃、一丝不苟、严谨求实的学习态度和积极思维的良好的习惯。
综观前两个案例，与案例3中的教师进行对比，不难看出最后这位教师做的恰到好处。使得思想教育与教学内容紧密结合，做到顺其自然，不做作，不把品德教育强塞给学生，注意适时适度，学生乐于接受，达到了即教书又育人的良好效果!
关于小组合作的思考——数学教学案例分析
合作交流是学生学习数学的重要方式之一，其意义和价值已经被很多老师所接受。但怎样摒弃形式主义，充分发挥合作交流的效应，仍是小学数学教学改革所关注的热点和难点问题。本文拟结合案例，谈点体会，以期得到专家和同行的指正。
一、 是主动，还是被动?
[案例]《除法的初步认识》教学片段
学生被分为6人一小组，每人手上有6根小棒。
A教学：
师：大家手上都有6根小棒。平均分成三份，每份是多少呢?
生动手操作。
师：好!把刚才操作的过程在小组中交流一下。
B教学：
师：大家手上都有一些小棒，试着按要求进行平均分操作。要求是：平均分成1份，2份，3份，4份，5份，6份，并且不能损坏小棒。看那组最迅速。
学生开始分。有的很快地分好，有的开始小声议论。
师：有困难吗?
生1：平均分成4份不好分。
生2：平均分成5份也不好分。
师：是啊!有的多，有的少，不是平均分。最好怎么办呢?
(生……)
师：好!同组内的小棒可以相互借调。再试试看。
(生活动。)
师：哪个小组愿意来交流一下，你们的4份是怎么平均分的?
学生是由于需要而主动地合作交流，还是被老师安排去合作交流，两种心态会产生不同的效果。怎样激发学生合作交流的积极主动性?我感觉有两点值得我们去关注：
1、让问题更具有思考性和探索性。数学教学中的合作交流不能等同于日常随意性的谈话，它应具有一定的学习目标的指向性，是为解决某个具体的问题而进行的合作与交流。因此，教学中要不断地让学生产生思维的困惑，让他们在思维的压力下，主动地想到与别人的合作与交流。案例教学中，把6根小棒平均分成3份，只有1种分法，让他们交流什么呢?只会不断地重复。而要把6根小棒平均分成4份、5份，却是个伤脑筋的事。老师建议重新调剂，怎样调剂呢?小组成员之间必然要交流和合作。特别是平均分成4份，需要另一个人全部拿出，或者有4人拿出一根，剩下一位同学拿出2根，其间的讨论一定会热烈。“方便别人，也就方便了自己”，在这里不是很好地得到了体现吗?!
2、以组间竞争促组内合作。竞争和合作并不是一对相互排斥的概念，而是可以相互促进的。培养学生的合作意识、集体观念，可以通过竞争的机制去增强学生对集体的责任感和荣誉感，即用外部的压力去促进内部的团结。案例的B教学，引进了小组之间的竞争机制，这样就会促使小组成员之间主动地采取分工合作的方式，而无须再由老师去安排合作，组织交流。试想，在案例的B教学中，如果老师说的是“看哪位同学最快?”，他们之间的合作交流状况将会如何呢?所以在小组学习后全班交流的时候，老师关注的一定要是小组的整体意见而非个人。评判也应以小组为单位。
二、 是环节，还是方式?
[案例5]《角的初步认识》教学片段：
课始。
A教学：
师：同学们，大家知道，这是什么图形吗?
生：是角。
师：真好!在生活中哪些地方有角呢?
生：……
B教学：
师：同学们，咱们今天一起研究角的有关知识。我知道，几天前，每个小组都进行了有关角的资料的收集，并进行了一定的整理。现在用你们喜爱的方式来交流一下，好吗?
各个小组代表开始交流。
一节课中究竟安排几次小组学习为宜呢?我们经常这样讨论着。细细分析这种讨论，它其实是把合作交流局限在教学环节之上。试想，一节课都让学生在小组内合作交流，又有何妨呢?下节课再整理归纳就是了!打破知识的分割，建立一种大的课程观和教学观，我们完全可以在课堂内探索更大时空的合作与交流。同时，合作交流不能仅仅限于课内，学习小组不能是课内象集体，课外如“散兵”。课外的合作交流，更能发挥学生的积极性，更能调动他们的集体荣誉感。让我们从整体着眼，从形成氛围和培养习惯入手，积极地将学生学习数学的过程变成一种师生不断“对话”与“协作”的过程，让合作交流的学习方式发挥出它更大的效应。
一、数学是什么？
相信很多数学老师都这样问过自己：数学究竟是什么？作为一个数学老师，如果这个问题都回答不了，好象有点说不过去。但是谁又能真正说清楚数学是什么呢？美国数学家柯朗在他的《数学是什么》的书中说道：“……对于学者，对于普通人来说，更多的是依靠自身的数学经验，而不是哲学，才能回答这个问题：数学是什么？”的确，我们很难给数学下一个准确的定义，就让我们在对一些案例的思考中去慢慢地揣摩数学的内涵吧。
1、是客观，还是主观？
[案例1]“含有未知数的式子叫方程。”判断错误，应把“式子”改为“等式”才对，我们一直这样教学生、考学生。可这样改，就是绝对真理了吗？我们从未思考过。张奠宙先生曾在《小学数学教师》上撰文说：“其实，含有未知数的等式叫方程，也并非是方程的严格定义，它仅是一种朴素的描写，并没有明确的外延，是经不起推敲的。首先，改成‘等式’二字也未必准确，实际上应是‘条件等式’才对。因为含有未知数的恒等式不是我们要研究的方程，例如，x－x=0，对一切x都对，何必解呢？反过来，把解‘含有未知数的不等式’，称之为‘解不等式方程’，也可以说得通，无非是大家约定俗成而已。”看了这段话，我们有何感想？
[案例2]“圆周长的一半等于半圆的周长”。判断错误。可是，究竟什么是半圆呢？如果说圆是一条定点到定长的封闭曲线，那半圆不就是这曲线的一半，这不正好是圆周长的一半吗？把直径纳入进去形成半圆，不就承认圆是一个块而不是线了吗？有一天，我突然醒悟并为此感到兴奋，并和老师们交流，老师们也大呼其对。可是过几天，我还是不放心地去翻了《数学大辞典》，它明确告诉我“半圆就是半条弧和直径所组成的图形”。我空欢喜了一场。这个知识点其实是次要的，关键是我们花了那么长时间，去让学生搞懂连自己也不懂的东西，其价值何在呢？
[案例3]“0”一直是整数而非自然数，为这，老师和学生们都没少费脑筋，可现在“0”也加入了自然数的行列；“5个3是多少？”也可以写成“5×3”了；“把6个桃平均分成3份”，操作时，直接拿2个放在一个盘子里，也不说你是科学性错误了。难道数学是可以改变的吗？
[案例4]有一次听五年级的数学课，内容为小数乘法的意义。老师花了很大力气去让学生搞清：4×5是表示5个4相加是多少或4的5倍是多少，4×是表示4的十分之五是多少，4×是表示4的倍是多少。有些学生还是有些糊涂，教师便帮助他们总结规律：要看后面的数是大于1还是小于1。小于1的，就是表示这个数的十分之几、百分之几是多少……大于1的，要看是整数还是小数，是小数的，就是几倍；是整数的，可以有两种表示方法……学生更糊涂了。第二节课去听六年级数学课，正好是分数乘法的意义。又出现了上述情形，只不过把小数换成了分数。学生们一半清醒一半醉。“倍”的概念，究竟是什么？如果无关大雅的话，把4×说成4的倍又何妨呢？！至少可以少难为一点我们这些可爱的孩子们。
袁振国教授说：“数学就是人们的一种主观建构，从某种程度上说它就是无中生有。”我们不能动摇数学的客观性，但我们也应该关注到数学的主观性。在关注数学事实的同时，更应该关注孩子的数学经验。让数学从静态走向动态，从客观走向主客观的结合……
2、是形式，还是实质？
[案例5]一年级数学课上，老师让同学们做课本上的一道题。题目是看图列式，左边图上画了一棵大树，树上有5只鸟，树的旁边又画了3只鸟（头朝树）。学生当即写出算式：“5＋3=8”，表示“树上有5只鸟，又飞来3只鸟，一共有8只鸟。”右边图上也画了一棵大树，树上有5只鸟，树旁边有3只鸟，只不过这3只鸟的头的方向是远离树。学生也当即写出算式：“8－3=5”，表示“树上原来有8只鸟，飞了3只，还剩5只。”在一切进行的很顺利之时，一个小朋友站起来说，他列出的算式也是“5＋3=8”。老师很不高兴：“难道你没看见小鸟飞的方向吗？头朝左边，就表示加，头朝右边就表示减……”
关键的是这种现象并非个别。在教学中，我们老师做过多少次这种人为的规定啊！“实线就表示合并，虚线就表示去掉”、“看见总共就加，看见剩下就减”。本来简单的数学，变得越来越复杂……
[案例6]教过《三角形认识》的老师都知道，在这节课上我们第一个要煞费苦心的，就是让学生懂得三角形是由三条线段围成而非组成的图形。为了“围成”与“组成”，我们往往要花去很长的时间，并常常为此设计而津津乐道。反思一下，如果我们不去区别“组成”与“围成”，或者说不把“围成”突出来讲，学生难道就会把“没有连接在一起的三条线段组成的图形”看成是三角形吗？我看百分之百不会。数学课上，我们往往喜欢教语文，喜欢去咬文嚼字，看似深挖实质问题，实际是渐离实质。对于一个概念的学习，我们不能只注重它的定义，我们更应该重视的是帮助学生形成丰富与清晰的心象：学生能画出多少个形状不同的三角形，学生能自主地在这些三角形中找出相同的特征并把它们归类吗？一提到钝角三角形、等腰三角形，学生的头脑中就能浮现出各种表象吗？
为什么学生作业中经常会出现“小明身高厘米”等数学笑话？因为我们对定义的关注，也许超过了对心象与它所代表的实际意义的关注，而后者的重要性要远远大于前者。
二、是封闭，还是开放？
[案例7]48×53怎样计算？列竖式，先从个位乘起……我们有一套法则，我们很熟练它，但却根本不知道还会有别的算法。其实，下面的这几种方法都可以计算出它的结果：
48 48
×53 ×53
——— ———
2024 24
12 12
40 40
——— 20
2544 ———
2544
面对数学，我们千万不能认为自己的方法就是唯一的。教学数学，我们一定要积极地鼓励学生从多个角度去思考问题。让数学走出封闭，走向开放。
[案例8]在《分数的意义》教学中，我们通常都是从复习平均分开始，然后逐渐地引导学生把一个饼平均分成2份，表示每一份的分数；把一条线段平均分成3份，表示每一份的分数……步步为营，一层一层地引导下来。如果我们在课的一开始，就让同学们自己随便写一个分数，然后联系生活实际用这个分数说句话，或直接说说这个分数所表示的意义，可以吗？完全可以，在开放的、具有挑战性的又联系实际的问题情景中，学生的兴趣只会更高，思维更活跃。
我们不能老是让学生接触封闭的数学（条件唯一，答案唯一）。数学的魅力在哪里？在于数学的探索性与想象力。只有充满着想象的数学，才会深深地吸引着孩子。
某水果店有以下三种苹果（每千克2元、每千克4元和每千克5元），用40元钱可以买多少千克苹果？
某种苹果每千克2元，用40元钱可以买多少苹果呢？100元呢？
试比较以上两道题，谁的魅力更大呢？
近年来，教师有住房公积金优惠政策。我想购买一套住房，我想把我和爱人在家经常讨论买哪个小区、贷款多少、还款多少年等问题推给学生讨论，借以复习已学过的数学知识。
《生活中的数学》
列举我们身边的教学目标：
1、实例使学生意识到中学数学知识尤其是函数知识在生活中的巨大作用，激发学生用数学的原动力。
2、培养用数学的意识。
3、训练学生对主要信息的捕捉，体验现实问题决策的多样性与开放性。
教学重点：建模能力的培养。
教学难点：数学模型的建立。
教学过程：
师：最近老师想以贷款的方式购买一套住房，在走访了几个同类小区后，老师把目光锁定在相同条件下两个小区。
A小区，首付6万元，每月还款元。
B小区，零首付，每月还款元。
贷款年限不少于3年，必须在退休之前还清，对于我来说，不得超过15年，请同学们帮我拿主意，看我究竟该选哪个小区？
（学生沉思片刻，开始动手演算。）
生：老师你应该哪种省钱选哪个。我设贷款为x月，所交金额为y元。
yA=60000+
yB=
师：那我们如何比较呢？
（教师的适当引导有助于学生把已有的零散知识整理成体系从而更好地理解一次不等式组与一次函数之间的内在联系。）
生：可以用不等式，令yA>yB即：
60000+;
60000>
解得：x
由于是房贷问题，所以有x
同理求得，当x>147时yA
即：当x小于147时选B小区；当x等于147时选A和B小区均可；当x大于147时选A小区。
师：利用我们所学的不等式知识，可以得到答案。还有其他的办法吗？
生：可以用函数图像。
师：好，请同学们借助函数图像解决。
（教师巡视观察学生不同的画图像的方式，请他们分别上黑板自己画出他们自己认为的图像，这一部分分析有助于培养学生数学思维的严密性。）
师：让我们共同分析一下这三个图像吧！
生A:老师，我认为图像甲画得不对，因为x、y不可能为负数。
师：有道理，那么乙图像是否正确呢？
生B:老师，乙图像画得也不对，因为规定贷款年限不低于三年，所以两个函数图像的起点应在x=3×12=36处。
生C:我觉得丙图像基本符合题意，它注意到了自变量x的取值范围，即3×12≤x≤15×12，即36≤x≤180。
(学生在利用数学知识面对实际问题时能因地制宜、灵活处理，这正符合“人人学有用的数学”这一学习数学的最终目的，思维很有创造性。)
生：同意。
师：D同学，请问如何用图像判定哪种方式更省钱？
生D:交点处x的值即为前面求的147。这里yA=yB，选哪一种均可；在交点右方，当x取相同值时，yA
师：看来同学们从经济问题方面帮助老师考虑，在贷款年限相同时，哪种方式还款少，我选择哪种。请大家不要停下思考的脚步，看看我们还有没有要考虑的问题和新的角度。
生E:老师，我觉得思路拓展开了，首先应考虑你手中是否有6万元，如果有，你有两种选择，如果没有，你只能选B小区。
生F:老师，我认为你的贷款年限最多15年，共180个月，公积金的贷款利率较低，如果你有6万元，也应该选B小区，因为这样到期yB-yA=×180-(60000+×180)=13746元。随着工资的增加，物价上涨，在十五内，多出的13746元早就充里面去了。而且老师现在还可拿这60000元来投资其他获利，创造更高的价值。
师：从发展的角度来看，我赞同生F给我的建议，他很有头脑，好好努力，今后会成为一个成功的金融人士。
课后反思：
在课堂教学中，要力求体现“小课堂，大社会”的思想，真正使学生获得作为公民所必须具备的数学基础知识和基本技能，为学生终身可持续发展打好基础。在解决实际问题时，由于学生的观察点不同，往往会得到不同的结论。在教学过程中应鼓励和引导学生思维的多样性，把数学学活，使数学真正源于生活并服务于生活。
评析：
第一，本节课的设计主要是列举我们身边的实例，使学生意识到中学数学知识尤其是函数知识在生活中的巨大作用，激发学生学习数学的原动力和培养学生用数学的意识。
第二，正确处理书本中的实际问题与实际中的数学问题的差异。由于决策人的社会背景的不同，考虑问题的角度的差异，往往会引发结论的多样性，有时甚至会出现相反的结论，所以本节课的第二个特点在于：训练学生对主要信息的捕捉，以确定答题角度，同时体会现实生活结论的开放性和多样性。
圆周长
课上，学生四人一组围桌而坐。桌面上摆放着水杯、可乐瓶、圆形纸片、刻度尺、绳子和剪刀。吴教师说：“龙潭湖公园有一个圆形花坛，为了保护花草，准备沿花坛围一圈篱笆，需要多长的篱笆呢？你们能帮忙解决这个问题吗？请用手中的工具，小组合作探索周长的计算方法。”话音一落，学生们就忙开了。他们兴致勃勃的设想着各种方法，全身心投入到问题的探索之中。
过了一会儿，小组代表开始发言。A组抢先说：“我们小组是把圆形纸片立起来放在刻度尺上滚动一圈，就测出了它的长度。”
吴教师肯定了他们进取动手、动脑参与学习，但同时提出：“如果有一个很大的圆形水池，要求它的周长，能用你们小组的方法把水池立起来在刻度尺上滚动一圈吗？”“是啊，行吗？”A组的同学陷入了沉思。
之后，B组代表有几分得意地向大家推荐自我小组的做法：“我们研究了一个好方法，先用绳子在水池周围绕一圈，再量一量绳子的长度，不就是水池的长度了吗？”
“好！好！这的确是个不错的方法。”吴教师称赞道。这话在B组同学的脸上洒下了一片灿烂。
停顿片刻，吴教师拿出了一端系有小球的线绳，在空中旋转了一圈，又旋转了一圈，问：“小球走过的地方构成了一个圆，要想求这个圆的周长，还能用你们的方法吗？”同学们摇摇头，再次陷入沉思。
“我们又发现了一种求圆周长的方法。”一个兴奋的声音从教室里掠过，C组的同学发言了：“将这张圆形的纸对折三次，这样圆形的周长就被平均分成8段，我们测量出每条线断的长度是2厘米，8段是16厘米，也就是圆的周长。”
很有创意，吴教师竖起大拇指，“你们用折纸的方法求出这个圆的周长，很了不起。可是用滚动的方法、绳绕的方法、折纸的方法只能求出某些圆的周长，都有局限性。我们能不能找到一条球圆周长的普遍规律呢？
学生的思维又活跃起来，把对圆周长的探索推向了一个新的高潮。
经过一番思考，学生们提出了这样一个问题：“是什么决定了圆周长的长短？圆的周长到底与什么有关系？”观察、操作、实验，同学们最终发现圆的周长是它的直径的三倍多一些。
规律找到了，同学们沉浸在成功的喜悦之中┄┄
点评：吴教师善于创造绚丽的思维波澜景观，她总是恰到好处地打破学生的思维平衡，使学生原有的认识、经验受到挑战，构成适当的失衡，从而促使学生去探索、去创造，以寻找新的答案。如此循环往复，就使得学生的思维一步步深化，一步步逼近真理，一次比一次飞溅起更高的浪花。
一、本节课成功之处：
1、本节课是课本中的一个《测量旗杆的高度》课题，首先在设计之初就立足于使学生能够较容易完成。所以此课题的学习安排在了学生学习了相似三角形的判定方法和性质并且能够综合应用的基础之上。
2、这节课有较好的效果，原因之一是测量旗杆的高度这个课题是学生所感兴趣的一个课题；原因之二是提前给学生分好了小组，布置了预习内容，做好充分的课前准备；原因之三,对本班的学生状况熟悉，上课时收放自如，到了良好的效果。
3、本节课还可以引导学生测量树高；影子在墙上，影子在斜坡上，来扩宽学生的知识面，这也是学生感兴趣且觉得有用的内容，他们易于接受。通过身边的实例，及他们测量旗杆时的剪影，让他们觉得新颖性及重要性。
4、本次活动，对于学生来说，有如下收获：
(1)通过测量旗杆的高度，提高了学生综合运用相似三角形的判定条件和性质解决问题的能力，发展了数学应用意识，加深了对相似三角形的理解和认识。
(2)学生在分组合作活动以及全班交流的过程中，进一步积累数学活动经验和成功的体验，增强学习数学的自信心，也提高了学生相互协作的能力。
二、纵观本节课，本节课还存在很多的困惑及不足：
(1)本节课，课前准备工作较长，如果学期的教学进度允许还可以，如果学习任务重，时间紧，还能进行吗？那么如何协调好数学课题学习与普通的课堂教学之间的关系呢？
(2)交流合作与动手操作的协调不够。本节课注重了让学生在动手操作的前提下展开交流与合作。但是从具体实施情况看，对于学习基础较差的学生，在“动手操作”阶段的个别引导有所欠缺，因此这些学生感到无从下手而显得无所事事。
(3)教师没有参与到学生的小组活动之中，广泛了解不同层次学生的交流合作效果。具体操作活动中，教师应随时把握学生情况，及时指导鼓励学生。
三、通过本节课教学，使我意识到今后应注意如下几个方面：
1、不断更新教学观念，使数学教育面向全体学生，因材施教，让不同层次的学生在数学上得到不同的发展。
2、要不断学习新的教育理论，充实自己头脑，指导新课程教学实践，拓宽教学思路，更努力的让数学生活化。
3、营造良好的学习氛围，充分激发学生的学习兴趣。
4、注意评价的多元化。对数学学习的评价不仅要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程，帮助学生认识自我，建立信心。
(一)情景引入
1、今天我们教室来了一个聪明的人，你们想知道他是谁吗?(出示阿凡提卡通图像)谁认识他?
2、师简介阿凡提抽“生”“死”签的故事。(阿凡提是古时候一个很聪明的人，他喜欢帮助老百姓。所以，大家很喜欢他。但古时候的国王和有钱的坏人都很怕他，一直想要害死他，就找个罪名把他关起来。当时，这个国家有个条例，处死罪犯时要让他抽“生”“死”签，如果抽到“生”签，就不用死。国王为了要阿凡提死，就把2个字都写成“死”，有人把这件事告诉阿凡提。第二天，当国王让阿凡提抽“生”“死”签时，他不慌不忙地把一个纸团吞下，大家很惊奇他为什么这样做，阿凡提说：“吞下去的签是我的，请打开剩下的签，如果是‘死’，那我的是‘生’。)阿凡提用他的智慧逃过了一劫。今天，他来到我们教室里，想看看同学们是否和他一样用智慧来解决问题。
二探究新知
1.拿出一个箱子，放进一个红色的球和一个黄色的球。
师：阿凡提说：“我拿了一个球，你们猜会是什么颜色的?”(学生有的说是红色的，有的说是黄色的)，学生上来试一试。
师：为什么会这样呢?如果阿凡提告诉你们，他“拿的不是红色的球”，那你们知道他拿的是什么颜色的吗?你怎么想的?
2.师：阿凡提夸你们说得很好，他想和同学们一起做游戏。(请2个小朋友上来，一个拿数学书，一个拿语文书，把书藏在背后。)
(1)XX同学说：“我拿的不是数学书，请大家猜一猜，我拿的是什么书?”
(2)同桌交流。
(3)汇报。(要求有条理，说出推理方法)
3.师：阿凡提带来3张动物卡片。它们是：兔、狗、猫，准备送给3个小朋友。(出示P101页第3题，并帮3个小朋友取名字)
(1)请学生读一读图中小朋友说的话，说说和刚才猜书游戏有什么不同?
(2)小组交流.要求每个学生都要说说怎样想的。
(3)汇报(注意引导有条理的推理)
4.游戏
(1)3人一组，模仿课本P100页的例3，分配好角色，
像他们那样说一说，猜一猜。
(2)请2个小组上来演示，指名学生说说推理方法。
三巩固新知
1、师：阿凡提夸同学们表现很好，还想出一题考考你们，有信心吗?
(1)让学生看P101页第4题，同桌互相说说他们各拍几下?
(2)汇报，指名个别学生说说如何推理的。
四小结
同学们，今天学习的知识，你们会了吗?这些就是数学中的简单推理知识，生活中我们会常常碰到这些问题，阿凡提希望我们今后遇到这些问题时，能冷静地去推理判断，找出解决的方法。
五 下课游戏：(全班分3组，按要求走出教室。)第一组不是最先出去的，第二组跟在第三组的后面。哪组同学先走出教室?
[课后反思]
这节课的教学目标主要是初步培养学生能用清晰的语言，有条理地表达自己的推理过程。许多学生碰到问题大部分懂得怎样解决，但要他们有条理表达是较困难的。这教时重点是让学生通过观察、思考，能有条理地表达自己推理的方法。因此，在教学中我采用以下的教学方法。
一在故事中感受数学的趣味
《数学课程标准》指出：小学生学习过程较多关注“有趣.新奇”的事物，故事是儿童成长过程中最喜爱的伙伴它是伴着儿童成长。它能集中学生的注意力和学习的兴趣。在这教时中，我采用与教学内容有些相关的故事来引入新课，从故事中不仅初步感知推理知识，而且重要的是让学生从小树立对机智人物的喜爱和对学习数学的兴趣。
二在游戏中感受数学的趣味
有趣的游戏可以激发学生学习兴趣，同时能激活学生的思维。在教学中我设计把例题改变成让学生参与演示，小组游戏的方式，让学生亲临其境。能清晰有条理地表达推理过程，把一节比较单调的推理知识变成生机勃勃，许多学生都争着表达自己的推理方法。
教学中也出现了一些不足之处，那就是个别学生语言表达能力较弱，不能运用有条理的数学语言进行推理表达。因此，在今后教学中应注重让学生练习“说”的能力，多让学生表达自己的想法，提高学生数学语言能力。
课程改革后，“估算”教学受到了普遍的重视。小学教材中求近似数的方法，主要是四舍五入法，估算时，也大都是用四舍五入法求近似数进行估算。实际上，求近似数的方法，还有进一法，去尾法等，估算时，也经常根据具体情况，用不同的求近似数的方法进行估算。
教学过程主要是组织学生围绕教学内容切实展开探索活动，充分模拟生活情景放手让学生学习加法估算的基础上，运用该知识解决生活实际问题，感到学有所用。
通过对课堂教学案例的探索，我们深深体会到新课程改革的魅力所在。
（1）生活即教育。
“生活即教育”这句话是著名的教育家陶行知说的，也说明了学习应该是学生自己的实践活动。以往教科书上枯燥的例题让学生失去了学习数学的兴趣，而现在新课程改革，我们应该更加关注学生会关心什么、经历了什么、对什么感兴趣、在生活中想要发现些什么。只有这样，学生才会学得积极主动，才会学得兴趣盎然。
（2）估算源于生活。
“估算”的内容在生活中随处可见，有着极其广泛的应用，在日常生活中，对量的描述，很多时候只要算出一个与精确数比较接近的近似数就可以了。这堂课的教学，让学生把自己的经历和数学知识在生活中的应用结合起来，因此培养了学生的素质和能力。本节课我设计了：估算教室的人数——估算妈妈买东西带的钱够不够——估算参加运动会的人数——估算啦啦队的人数——估算水彩笔的枝数——估算写大字的字数——估算买礼物的钱数等贴近学生生活实际，富于校园生活气息的情境，使学生轻松自然地进入生活中数学问题的探究，去积极发现、解决生活中的数学问题，同时使学生的身心得到了健康向上的发展。
（3）算法的多样化。
“算法多样化”是数学课程标准的重要理念之一，是指尊重学生的独立思考，鼓励学生探索不同的方法，并不是让学生掌握多种方法。在教学中我们要相信学生、尊重学生，发掘和鼓励算法的多样化、个性化。如：估算妈妈带的钱够不够，有的分别估算出热水瓶、烧水壶、水杯的价格再加起来和100元比较；有的从100元里去掉热水瓶、烧水壶的大约钱数，剩下的钱和水杯的价格比较；有的把三种物品的价格加起来再估算；有的用口算估算等等。由于学生的知识基础、生活经验和思维能力各不相同，不同的学生对数学知识的理解、运用也各不相同，教师要营造一个自由、平等、开放的集体氛围，充分树立他们的自信心，鼓励学生的不同见解，只要符合科学性，教师都应尊重学生的选择，体现新课标中以人为本的新理念，使不同的人学习不同的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
当然，完美的课是不存在的，反思整个教学过程，仍有许多不足之处。这节课上，我觉得留给学生自主探索的时间和空间还不够，对“弱势群体”关注不够，听不到“学困生”求助的声音，不能不说是一种缺憾。虽然在教学中注意发挥了学生的主体性，但是，某些环节没有发掘学生内驱力，导致学生来不及细想。要真正让学生学得主动，学得扎实，学得愉快，首先还需教师从观念上转变过来，多引导，少包办。
在我学习新课程的这段时间里，我对自己过去的教学思想和行为进行了反思，用新课程的理念，对曾经被视为经验的观点和做法进行了重新审视，现将在反思中得到的体会总结出来，改正自己的不足之处：
一、教学中要转换角色，改变已有的教学行为
(1)根据新课程的要求，教师由传统的知识传授者转变为学生学习的组织者;教师成为学生学习活动的引导者，而不再是主导者;教师应从“师道尊严”的架子中走出来，成为学生学习的参与者，师生合作学习，共同进步。
二、教学中要尊重学生已有的知识与经验
在我们设计教学方案时，我们应该想想：“学生已有哪些生活经验和知识储备”，“怎样依据有关理论和学生实际设计易于为学生理解的教学方案”，“学生在接受新知识时会出现哪些情况”等。备课时，尽管教师会预备好各种不同的学习方案，但在实际教学中，还是会遇到一些意想不到的问题，如学生不能按计划时间回答问题，师生之间、同学之间出现争议等。这时，教师要根据学生的反馈信息，反思“为什么会出现这样的问题，我如何调整教学计划，采取怎样有效的策略与措施”，从而顺着学生的思路组织教学，确保教学过程沿着最佳的轨道运行。教学后，教师可以这样自我提问：“我的教学是有效的吗”，“教学中是否出现了令自己惊喜的亮点环节，这个亮点环节产生的原因是什么”，“哪些方面还可以进一步改进”，“我从中学会了什么”等，这样才符合新课改对教师的要求，更有助于教师教学计划的开展。
三教师应注重和学生的交流对话
师生间充分的对话交流，无论对群体的发展还是对个体的成长都是十分有益的。如一位教师在教学“平均分”时，设计了学生熟悉的一些生活情境：分桃子、分鱼、分饼干、分苹果等。在交流对话时有的教师提出，仅仅围绕“吃”展开教学似乎有局限，事实上，在生活中我们还有很多东西要进行分配，可以适当扩展教学设计面。这样开放性的讨论能够促进教师更有效地进行反思，促进教师把实践经验上升为理论。
四教师应对每一节课进行总结记录
一节课结束或一天的教学任务完成后，我们应该静下心来细细想想：这节课总体设计是否恰当，教学环节是否合理，讲授内如一位教师在让学生进行分数应用题的综合训练时出了这样一道题：一套课桌椅的价格是48元，其容是否清晰，教学手段的运用是否充分，重点、难点是否突出;今天我有哪些行为是正确的，哪些做得还不够好，哪些地方需要调整、改进;学生的积极性是否调动起来了，学生学得是否愉快，我教得是否愉快，还有什么困惑等。把这些想清楚，作一总结，然后记录下来，这样就为今后的教学提供了可资借鉴的经验。经过长期积累，我们必将获得一笔宝贵的教学财富。
教学反思被认为是“教师专业发展和自我成长的核心因素”。美国学者波斯纳认为，没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能形成肤浅的知识。只有经过反思，教师的经验方能上升到一定的高度，所以，我们应该在平时的教学工作中，不断地进行教学反思，让自己取得更大的进步。
一、教学目标：
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
2.理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.
3.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
“反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力”，本节课在教学过程中始终融入反思的环节，用问题的设计，课堂小结，课后的数学日记等方式引发学生反思，使学生在掌握知识的同时，领悟解决问题的策略，积累学习方法。说到数学日记，“数学日记”就是学生以日记的形式，记述学生在数学学习和应用过程中的感受与体会。通过日记的方式，学生可以对他所学的数学内容进行总结，写出自己的收获与困惑。“数学日记”该如何写，写什么呢?开始摸索写数学日记的时候，我根据课程标准的内容给学生提出写数学日记的简单模式：日记参考格式：课题;所涉及的重要数学概念或规律;理解得最好的地方;不明白的或还需要进一步理解的地方;所涉及的数学思想方法;所学内容能否应用在日常生活中，举例说明。通过这两年的摸索，我把数学日记大致分为：课堂日记、复习日记、错题日记。
教学目标：
1、了解公式的意义，使学生能用公式解决简单的实际问题；
2、初步培养学生观察、分析及概括的能力；
3、通过本节课的教学，使学生初步了解公式来源于实践又反作用于实践。
教学建议：
一、教学重点、难点
重点：通过具体例子了解公式、应用公式。
难点：从实际问题中发现数量之间的关系并抽象为具体的公式，要注意从中反应出来的归纳的思想方法。
二、重点、难点分析
人们从一些实际问题中抽象出许多常用的、基本的数量关系，往往写成公式，以便应用。如本课中梯形、圆的面积公式。应用这些公式时，首先要弄清楚公式中的字母所表示的意义，以及这些字母之间的数量关系，然后就可以利用公式由已知数求出所需的未知数。具体计算时，就是求代数式的值了。有的公式，可以借助运算推导出来；有的公式，则可以通过实验，从得到的反映数量关系的一些数据（如数据表）出发，用数学方法归纳出来。用这些抽象出的具有一般性的公式解决一些问题，会给我们认识和改造世界带来很多方便。
三、知识结构
本节一开始首先概述了一些常见的公式，接着三道例题循序渐进的讲解了公式的直接应用、公式的先推导后应用以及通过观察归纳推导公式解决一些实际问题。整节内容渗透了由一般到特殊、再由特殊到一般的辨证思想。
四、教法建议
1、对于给定的可以直接应用的公式，首先在给出具体例子的前提下，教师创设情境，引导学生清晰地认识公式中每一个字母、数字的意义，以及这些数量之间的对应关系，在具体例子的基础上，使学生参与挖倔其中蕴涵的思想，明确公式的应用具有普遍性，达到对公式的灵活应用。
2、在教学过程中，应使学生认识有时问题的解决并没有现成的公式可套，这就需要学生自己尝试探求数量之间的关系，在已有公式的基础上，通过分析和具体运算推导新公式。
3、在解决实际问题时，学生应观察哪些量是不变的，哪些量是变化的，明确数量之间的对应变化规律，依据规律列出公式，再根据公式进一步地解决问题。这种从特殊到一般、再从一般到特殊认识过程，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学设计示例：
一、教学目标
（一）知识教学点
1、使学生能利用公式解决简单的实际问题。
2、使学生理解公式与代数式的关系。
（二）能力训练点
1、利用数学公式解决实际问题的能力。
2、利用已知的公式推导新公式的能力。
（三）德育渗透点
数学来源于生产实践，又反过来服务于生产实践。
（四）美育渗透点
数学公式是用简洁的数学形式来阐明自然规定，解决实际问题，形成了色彩斑斓的多种数学方法，从而使学生感受到数学公式的简洁美。
二、学法引导
1、数学方法：引导发现法，以复习提问小学里学过的公式为基础、突破难点。
2、学生学法：观察→分析→推导→计算。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1、重点：利用旧公式推导出新的图形的计算公式。
2、难点：同重点。
3、疑点：把要求的图形如何分解成已经熟悉的图形的和或差。
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪，自制胶片。
六、师生互动活动设计
教者投影显示推导梯形面积计算公式的图形，学生思考，师生共同完成例1解答；教者启发学生求图形的面积，师生总结求图形面积的公式。
七、教学步骤
（一）创设情景，复习引入
师：同学们已经知道，代数的一个重要特点就是用字母表示数，用字母表示数有很多应用，公式就是其中之一，我们在小学里学过许多公式，请大家回忆一下，我们已经学过哪些公式，教法说明，让学生一开始就参与课堂教学，使学生在后面利用公式计算感到不生疏。
在学生说出几个公式后，师提出本节课我们应在小学学习的基础上，研究如何运用公式解决实际问题。
板书：公式
师：小学里学过哪些面积公式？
板书：S=ah
（出示投影1）。解释三角形，梯形面积公式
【教法说明】让学生感知用割补法求图形的面积。
教学内容：教科书第11页的内容
三维目标：
1.使学生认识重量单位吨，知道吨在实际中的应用，初步建立1吨重的观念，知道1吨=1000千克。
2.能进行重量单位间的简单换算。
教具、学具准备：
将书上大米袋示意图制成挂图。
教学过程：
一、复习
1.教师：我们都学过哪些重量单位?
让学生描述一下1克和1千克具体有多重。
米=()千米4千米=()米
1000克=()千克8千克=()克
二、新课
1.教学吨的认识。
教师：我们以前学过克和千克这两个重量单位。比如，一袋糖重500克，一袋盐重1千克。这节课我们要学习一个比千克还要大的重量单位(引出新课)。
出示书上第一个直观图。引导学生说一说图意，然后教师指出：计量较重的或大宗物品的重量，通常用吨作单位。
教师：谁能说一说还有什么物品用吨作计量单位?1吨到底有多重呢?
教师直接引出：1000千克就是1吨。
板书：1吨=1000千克
教师：假设三年级同学平均每人重25千克，10个同学的体重是多少千克?40个同学的体重是多少千克?是几吨?
教师：你还能说出哪些东西大约重1吨?
2.教学千克和吨的换算。
4吨=()千克
教师引导学生进行推算，不用写出推理过程，启发学生想出：1吨是1000千克，5吨是5个1000千克，5个1000千克是5000千克。所以5吨是5000千克。
3.做“做一做”中的题目。
让学生独立完成，给有困难的学生一定提示。订正时，让学生说一说推理过程。
三、小结
四、课堂作业
教师还可以再给出几个例子让学生说出合适的单位名称。
教学后记：
【案例背景】
1、英国学者贺斯曾说：“对学科本质的认识一切教学法的基础”。所以数学教学的首要问题，不在于教学的更好方式是什么，而在于所教内容的数学本质是什么!
而数学本质是什么呢?众说纷纭，比较被大家认可的是华东师范大学的张奠宙教授的提法：本质一、对数学基本概念的理解;本质二、对数学思想方法的把握;本质三、对数学特有的思维方式的感悟;本质四、对数学美的鉴赏;本质
五、对数学精神(理性精神和探究精神)的追求。基于此，我们就开始反思新课改后的课堂教学行为：过于注重形式，追求表面的热闹，淡化了课堂教学的本质，待揭示的数学本质没有得到凸显，过程没有得到合理的证明，结论缺乏强有力的说服力。现在，在追“新”的过程中我们更多地关注和深入地思考课堂中暴露的一些问题，逐步走向成熟，使数学课堂得到了理性地回归，发生了本质的变化：教学内容的泛化回归实效、教学活动的外化回归内化、教学层次的低下回归高效，充分展现了数学课堂的魅力，学生学得扎实，获得真正的发展。以上就是我们实验中学教育共同体在本次赛课研讨时所达成的共识。
2、如何在课堂教学中凸显数学本质呢?我们殚精竭虑，反复思考、争吵，最后在新课程标准里找到了答案。
(1)针对具体的数学知识，知道知识本源和蕴含在知识背后的数学思想方法。深入挖掘教材，教材的编排蕴含了知识的本源和思想方法。
(2)在实践中怎样以数学知识本源与数学思想方法为主线展开教学设计。总之，知识是基础，方法是中介，思想才是本源。有了思想，知识与方法才能上升为智慧。数学是能够增长学生智慧的学科，我们只要抓住数学本质，与新课程理念有效结合，才能发挥数学教育的最大价值，凸显数学本色!这样做本身就是使数学课回归数学味，找回数学教学的灵魂!
3、《一次函数的简单应用》是教学中的疑难课时，教材处理的好坏与否直接影响课堂教学的效果。我们在研究教材的时候，集思广益，发扬团队精神、抽丝剥茧，一点一点的理出本节课应该突出体现“数形结合”的数学思想，为了体现这一点就应该要让学生切身感受“数形结合”的优越性和简洁性。
【案例描述】
在此次赛课过程中，我们在进行《一次函数的简单应用》这一教学内容设计时，我们尝试了两种不同的教学方法。
教法一：依托教材，遵循教材顺序开展教学
以小聪、小慧去旅游的例子为线索，让学生体会一次函数的图象与二元一次方程组的解之间的关系，然后利用图象的交点让学生明白利用图象的简洁性，同时附带介绍近似解等概念，但在教学中我们发现：当我们需要将问题中的两个函数的图象画在同一个直角坐标系中时遇到了困难。为什么是s136t和s226t10这两个函数?下面是这教学片断的师生对话：
师：这个问题我们能否用新的方法(数形结合)来解决。
生：可以利用函数的图象。(部分学生回答)
师：很好，若要利用函数的图象，我们首先需要知道什么?
生：函数的解析式。
师：那函数的解析式是怎样的?
生1：s136t和y226t。
师：还有不同答案吗?
生2：s136t和s226t10
师：为什么有两种不同的答案?我们需要的是哪一种?
生：第二种。
师：为什么?
(全班学生迟疑了片刻，有几个好生举手发言了)
生1：因为此两个函数要画在同一个直角坐标系中，它们的函数值y要相同;生2：它们两个人出发的时间相同;
生3：
这个问题本身使部分学生感到比较难理解，而我们又想利用此两个函数的图象的交点让学生体会直角坐标系中两条直线(不平行于坐标轴)的交点坐标与由两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系，更是难上加难。因此，后来我们没有采用这种教学设计。
教法二：以“数形结合”为引领，大胆改编教材的呈现模式，切合学生实际教学思路。
我们先让学生了解一次函数和二元一次方程的关系，然后再利用“数形结合”的思想方法让学生体会直角坐标系中两条直线(不平行于坐标轴)的交点坐标与由两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系，让学生明白利用图象的简洁性。这样处理的好处是：既分解了本节课的难点，又为利用图象法解决例题埋下了伏笔。
【案例分析与反思】
教法一只是按照教材规定的内容进行教学，教学方法也比较传统，教学过程侧重于知识的落实，学生虽然参与了学习，但学习热情较为低落。可以说，教师基本上是在“教教材”，缺乏数学本质的体现。而教法二中，以数学思想为主线，设置问题串，让学生在不断的演练中体会到“数形结合”的优越性下面我就来谈谈我们是如何“挖掘教材内涵凸显数学本质”。
一、分解教材内容，确定学习目标
在磨课过程中，我们对教材的问题逐题加以分解，对照数学本质，确定学习目标为：会综合运用一次函数的解析式和图象解决简单实际问题;了解直角坐标系中两条直线(不平行于坐标轴)的交点坐标与由两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系;会用一次函数的图象求二元一次方程组的解(包括近似解)。
二、结合数形结合的要求，选择教学素材
1、一是创造性地处理教材
教材中只用一个例题来解决本节课的重难点，我们觉得难度较大。所以我们先这样的一个等式y=x+1让学生了解一次函数和二元一次方程的关系，再让学生了解直角坐标系中两条直线(不平行于坐标轴)的交点坐标与由两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系。
2、创造开发生成性的教学素材
在教学设计中，讲解例题时，当做出函数的图象时我们设计了这样一个问题：
从图象中你还能了解到哪些信息?符合新课标的要求，不同的人在数学上得到不同的发展。
三、运用数学思想解决问题，培养学生创新意识
1、让学生经历数学知识的形成与应用过程。
让学生经历数学知识的形成与应用过程，从而更好地解释数学知识的意义，掌握必要的基础知识与技能，发展应用数学知识的意义与能力，增强学好数学的愿望和信心。新教材为学生提供了大量的数学活动线索和丰富的数学活动机会，为学生的数学学习构筑起点。通过我们的再次讨论，发现我们这节课在这方面还体现的不够，没有回到函数的真正本质：一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
2、构建“以问题为中心”的讨论式数学模式。
通过教师创设情景，启发引导，经过学生自主探索、合作交流，引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，使学生具有初步的创新精神和实践能力。“以问题为中心”的讨论式教学模式具体地说是由“问题情境、合作讨论、理性概况、应用创新、反思提高”五个环节组成的一种讨论式学习的教学模式。
3、注重数学思想的运用，提高解决问题的能力。
在教学的最后一个环节，我们设计了这样一道开放题：
根据此函数的图像，你能设计出它的实际背景吗?
教学中，应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学思想，感受数学的规律性、可循性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。
本课时教学提倡学生个性化的学习，变“学方法”为主动地构建方法。整个教学过程中，由于创设了各种生活情境，极大地激发了学生的学习兴趣，积极主动地投入到学习中去。
在对新知识的探究中，采用以旧带新，由浅入深，循序渐进的结构，符合学生思维活动的特点。同时运用合理、多样化的学习方法，把独立思考与合作交流有机结合，激发了学生的主体意识，使学生获得成功体验，有利于促进学生发展。课堂中学生的思维活跃，学得轻松愉快，学生在经历生活的情境中掌握了数学知识，获得了解并感受了数学与生活的密切联系，较好地实现了教学目标，并获得了积极的情感体验。
在整个教学过程中，我始终把自己放在组织者和引导者的位置，加强对学生学习方法的指导。但在学习评价上还做得不够，评价比较单一，语言的激励性还不够，因此缺乏一种感召力。
《下课啦》教学设计
张晓蕾
教学内容：北师大版一年级数学上册第二单元《下课啦》
教学目标：
1、通过直观地比较物体的高矮与长短，初步感知两个或三个物体之间的高矮、长短、薄厚关系。
2、理解物体高矮、长短、薄厚是相对的。
3、培养学生的表达能力、与他人合作交流的意识及能力。
教学重点、难点：
经历比较高矮、长短、薄厚的过程，初步掌握比较的方法。
教具学具：几根长短不一的绳子
教学过程：
一、情境引入
师：老师要和##同学比一比高矮，请小朋友们当裁判。
你们发现了什么?
生：老师高，##矮。
师：老师请个坐得最好的同学上来与##比高矮。
发现了什么?
师：刚才我们说##矮，现在怎么又说##高了呢?
生：比的人不一样。
师：高矮是相对的，不是绝对的。不是说他高，他就永远高，要看跟谁比。也不是说他矮，他就矮，还是要看跟谁比。
板书：相对的，跟谁比
二、实践操作
1、高矮
ppt:操场上，能不能找到比高矮的?
能不能说完整?()比()高，()比()矮。
生观察男孩、女孩比身高。(或：师：男孩认为他和女孩一样高，你们同意吗?)
生：脚垫起来了，不对。
师：怎么办呢?男孩改过来了，这次呢?
生：女孩高，男孩矮。
师：通过刚才的比高矮，你觉得在比高矮时，要注意什么呢?
生：比较高矮要在同一个起点，同一个平面上，也就是要对齐。
板书：对齐
2、长短
这两个小朋友去玩跳绳了，我们看看他们的跳绳，谁的高?谁的矮?
生笑：是长短。
板书：长短。
师：怎么比?想想办法。
生：先对齐一端，拉直了再比。
师：真聪明!弯曲着是不容易比的，拉直了才能比。
板书：拉直。
师：我们请最守纪律的孩子来做比较。
拿出两根跳绳，请同学上台比较。
引导孩子说清楚比较的过程：是怎么比的?
说一说：()比()长，()比()短。
3、厚薄
小朋友的凳子坏了，一个叔叔来修凳子，但是他不知道该选哪颗钉子，你能帮忙选一个吗?
生发言，师根据学生的发言，课件演示。
板书：厚薄
三、巩固提高
师：我们班的孩子们学得很棒哦，能自己发现比高矮、长短要对齐了，拉直了，还知道高矮、长短是相对的，关键是看跟谁比。现在请孩子们趴下休息休息吧。(音乐)
警车声响起，同学们好奇地抬头，坐好。
1、ppt,猜测：警车能顺利通过桥洞吗?为什么?
大部分学生通过数木块判断警车不能过桥洞。难能可贵的是有的学生发现警车车灯是可以取下的，过桥洞后，再放到车顶上，这样就可以解决问题了。
高矮不仅只在身高这一方面，在其他方面也存在高矮问题。
2、小兔子比高矮。
ppt出示：三只小兔子站在不同的高台上，但先不出示小兔子身后的格子。
学生进行比较。
在学生们纷纷发表完各自不同的见解后，在小兔子身后出示虚线格子图，再让学生观察比较。
学生通过仔细观察，发现可以通过虚线格子图帮助比较高矮，比前一个活动又进了一步。
3、教师小结
师：今天我们学习了比较高矮、长短、薄厚的方法，在进行比较时一定要注意什么?
生：必须在同一水平线上才能比较出高矮和长短。
教学板书：
下课啦
相对的高矮对齐
跟谁比长短拉直
平均数
吴：你们喜欢什么球类运动？
生1：我喜欢足球。
生2：篮球。
生3：乒乓球。
吴：由于受到场地的限制，我们只能在那里进行一次拍球比赛，你们看怎样样？
生：好。
吴：那我们以那里为界，一分为二，这边算一队，那边算一队。第一件事，先给自我的队起一个自我喜欢的名字，然后派一个代表把名字写在黑板上。第二件事，咱们得商量商量，这么多小朋友参加比赛怎样个比法，你们得出点招儿。听懂了吗？
（学生七嘴八舌商量开了，一分钟后，一个同学在黑板上写了“胜利队”。另一对也写了“吴正队”）
吴:吴正是什么意思？
生：因为您的课讲得异常好，我们用您的名字，必须能赢。
吴：行行行。队名产生了，那咱们怎样比呢？
生：选出每个队最厉害的一位参加比赛。
吴：那你们选吧，再挑一个裁判，每队再请一个小朋友纪录。
预备，开始！20秒后，吴教师喊停，然后统计：“吴正队”：30，“胜利队”：29。
下头我宣布，本次比赛胜利者为“吴正队”。“胜利队”服不服气？
“胜利队”：不服气！
吴：为什么？
生：就一个人能代表我们吗？应当每队再选几个。
吴：我提议每队再选三个人，好吗？
（每队三人继续比赛，教师把每个人的拍球数写在黑板上。)
吴：下头用最快的速度算出“胜利队”和“吴正队”的总数各是多少，报数。
生;118，124.
吴：此刻胜利者是“吴正队”，能够吗？
生：不能够。
（这时，吴教师走到胜利队同学面前。）
吴：别急，虽然此刻咱们落后，但吴教师决定加入“胜利队”，欢迎吗？
胜利队：欢迎！
吴：此刻把吴教师拍的22个加进来，算一算一共多少个？
生;140个。
吴;下头我宣布，今日的胜利者是“胜利队”。
生：不一样意！
吴：为什么？
生;胜利队有5次拍球机会，我们仅有4次，不公平。
吴;哦，在人数不等的情景下，我们还用总数这个统计量来比较，显然不公平，那么，在人数不等的情景下，我们能不能比出两个队总体的拍球水平呢？
（学生开始思考，相互交流。）
（最终有一个声音出现了：在人数不等的情景下，能够先求平均数。）
吴：怎样求平均数呀？
生;就是用拍球的总数，除以拍球的人数。
点评：排球是孩子喜欢的游戏，吴教师把游戏引进课堂的时候，在许多环节上都进行了改造：让学生自拟队名、自定比赛规则，是要培养学生的参与意识，是为了激发学生内在的学习动力；教师选择加入，是为了加深学生对平均数意义的体会，从而激发学生对平均数知识学习的需要。实际上，几乎每个环节都自然的指向对平均数的理解。一个原生态的生活情境，是难以有如此明显而丰富的教学意义的。
【教学目标】
1．引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。
2．帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。
3．培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识。
【教学重点】
正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。
【教学难点】
相交现象的正确理解（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解）。
【教具、学具准备】
课件，水彩笔，尺子，三角板，量角器，小棒，淡粉色的纸片，双面胶。
【教学过程】
一、画图感知，研究两条直线的位置关系
导入：前面我们已经学习了直线，知道了直线的特点，今天咱们继续学习直线的有关知识。
（一）学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系
师：老师这儿有一张纸，如果把这个面儿无限扩大，闭上眼睛，想象一下，它是什么样子的？在这个无 限大的平面上，出现了一条直线，又出现一条直线。想一想，这两条直线的位置关系是怎样的？会有哪 几种不同的情况？（学生想象）
（二）学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系
师：每个同学手中都有这样的白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你刚才的想法画下来。 注意，一张白纸上只画一种情况。开始吧。（学生试画，教师巡视）
二、观察分类，了解平行与垂直的特征
（一）展示各种情况
师：画完了吗？在小组中交流一下，看看你们组谁的想法与众不同？（小组交流）
师：哪个小组愿意上来把你们的想法展示给大家看看？（小组展示，将画好的图贴到黑板上） 师：仔细观察，你们画的跟他们一样吗？如果不一样，可以上来补充！（学生补充不同情况）
（二）进行分类
师：同学们的想象力可真丰富，画出来这么多种情况。能把它们分分类吗？在小组中交流交流。 （小组讨论、交流）
1．小组汇报分类情况。
预案：
a．分为两类：交叉的一类，不交叉的一类；
b．分为三类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉的一类；
c．分为四类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉一类，交
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